1. Розв’зати в цілих числах рівняння 

Права частина рівності невід’ємна, так як дорівнює квадрату числа, отже,

Тоді  ліва частина не менша , так як модуль різниці  та довільного квадрату цілого числа ( якщо  і квадрати різні) не менший

 Маємо , звідки  Отже, права частина може набувати значень:

1, 17, 33, 49, 65, 81. Із них тільки 1, 49 та 81 є квадратами.

 Розглянемо три випадки:

 1)       звідки  

 2) звідки   тобто 

 3)  звідки  тобто 

Відповідь:

2. Чи існують дійсні числа  та   такі, що кожне із рівнянь 

     має по два цілих корені?

Припустимо що такі  та  знайшлися, тоді, якщо  та  - корені рівняння

а  та  - корені рівняння , то за теоремою Вієта

            (1)

                     (2)

   (3)

           (4)

Із (4) видно, що - ціле непарне число. Тому числа  та  або непарні, а сума їх ( яка дорівнює ) – ціле парне число. Але тоді число  непарне і рівність (3) не можлива. Отримане протиріччя доводить, що таких чисел  та  не існує.

3.В трикутнику АВС проведено бісектрису BL.  Через точку L до кола, описаного  

  навколо    трикутника BLC,  проведено дотичну,  яка перетинає сторону АВ в

 точці Р.   Доведіть, що пряма АС дотикається кола, описаного навколо трикутни-

 ка BPL.

Розв'язання. Достатньо показати, що

Позначимо    Оскільки PL дотикається кола, описаного навколо трикутника BLC,  робимо висновок, що

Кут ALB -  зовнішній для трикутника ВLC, тому

З іншого боку ,  отже ,

4. На  деякому острові, на якому живуть лише лицарі, котрі завжди кажуть правду,  

    та  брехуни, які завжди брешуть, оголосили вибори мера. Кожний із n кандидатів

     на цю  посаду, зробив заяву,  а саме: k-й претендент  сказав: « Не

     рахуючи мене, серед  претендентів брехунів на k більше, ніж лицарів». Скільки

     чоловік претендувало на  посаду мера?

    Серед претендентів не більше одного лицаря. Якщо всі претенденти брехуни, то

     , так як в іншому випадку передостанній брехун буде говорити правду. Якщо

     серед претендентів є лицар, то він буде  -м претендентом. Доведемо, що

     Припустимо, що  Тоді -й претендент – брехун. З іншого боку, крім нього

     іще є   брехуни та один лицар, так що -й претендент говорить правду.

     Отримали протиріччя. Залишилось показати, що випадки   та  реалізо-

     вуються: лицар, брехун  () та  брехун, лицар, брехун ().

     Відповідь: один, два або три чоловіки.

5. Для множини невід’ємних цілих чисел ,  позначимо через  – множину всіх чисел виду , а через  – множину всіх чисел виду , де  та  пробігають всі можливі цілі значення від  до . Наприклад, для матимемо:,

  а . Чи може трапитися так, щоб число елементів в  було більшим за число елементів в ?

Розв’язання. Так, може. Для множини  матимемо:

, а ;

, а .