Турнір Чемпіонів – 2009

         1. Чи існує таке натуральне число , для якого добуток

є квадратом цілого числа?

         Розв’язання. Нехай , де . Обчислюючи декілька перших значень, знаходимо: , , ,  і т.д.. Помічаємо, що другий множник кожного члена послідовності співпадає з першим множником наступного. Для доведення цієї гіпотези скористаємося тим, що

і

.

Тому, перемножуючи , , , …, , ми одержимо наступний добуток:

.

Ми бачимо, що цей добуток складається з квадратних множників: , , , …,  і останнього множника . Оскільки число  не є квадратом цілого числа (бо воно при будь-кому  знаходиться між двома послідовними квадратами: ), то і весь добуток  на є квадратом цілого числа.

         Відповідь. Ні, не існує.

         2. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Нехай  – розв’язок системи, тоді мають місце наступні рівності:

, , .

Додавши ці рівності одержуємо, що

.

Звідки слідує, що

               ,         

де

, бо .

Доведемо, що . Нехай , тоді , а . Далі отримуємо: , , а . Далі , , а , що суперечить припущенню. Аналогічно доводиться, що  і . Тоді із  випливає, що . Перевірка показує, що знайдена трійка чисел є розв’язком заданої системи рівнянь.

         Відповідь. .

         3. Нехай , ,  такі додатні дійсні числа, що . Доведіть, що

.

         Розв’язання. Розглянемо різницю між лівою і правою частинами даної нерівності, розкриємо дужки, зведемо подібні доданки і врахуємо, що . Тоді матимемо:

4. Для множини невід’ємних цілих чисел ,  позначимо через  – множину всіх чисел виду , а через  – множину всіх чисел виду , де  та  пробігають всі можливі цілі значення від  до . Наприклад, для  матимемо: , а . Чи може трапитися так, щоб число елементів в  було більшим за число елементів в ?

         Розв’язання. Так, може. Для множини  матимемо:

, а ;

, а .

         5. а) Чи існує два рівних дев’ятикутники, всі вершини яких співпадають, але жодні дві сторони не співпадають?

б) Чи існує три рівних дев’ятикутники, всі вершини яких співпадають, але жодні дві сторони не співпадають?

(Нагадаємо, що многокутником на площині називають просту (без самоперетинів) замкнену ламану, сусідні ланки якої не лежать на одній прямій.)

         Розв’язання. а) Так, існує. Шуканий дев’ятикутник будуємо так. Візьмемо квадрат  із центром . Застосуємо до квадрата  гомотетію з центром  і коефіцієнтом , повернемо одержаний квадрат на дуже маленький кут за годинниковою стрілкою; одержаний квадрат позначимо . Перший дев’ятикутник – замкнена ламана . Другий дев’ятикутник одержується з першого поворотом навколо точки  на кут . Ці два дев’ятикутники задовольняють умовам задачі.

б) Так, існує. Шуканий дев’ятикутник будуємо так. Візьмемо правильний трикутник  і побудуємо ще два правильних трикутники  та  так, як це вказано на малюнку (точки  лежать на одній прямій, трикутники ,  і  мають спільний центр, точки  і  та  і лежить по різні боки від центра). Перший дев’ятикутник – замкнена ламана , а другий і третій одержуються з першого поворотом навколо центра трикутника  на кути  і .

         В.А. Ясінський, доцент кафедра

алгебри і методики викладання математики

Вінницького державного педагогічного університету

ім. Михайла Коцюбинського.