Експериментальне завдання

Визначте: 1) модуль кручення метрового вiдрiзку дроту, з якого виготовлено пружину динамометра; 2) модуль зсуву матерiалу пружини.

Обладнання: динамометр, лiнiйка.

Застереження: дозволяється тiльки розтягувати (стискати) пружину; будь-яке пошкодження динамометра переслiдується за правилами олiмпiади.

Нагадуємо:

              

           

модуль зсуву, модуль кручення.

 

1. Сила F, що дiє на пружину, створює момент M, який закручує дротинку:

 

М = FR;

 

R - радiус пружини.

З геометричних мiркувань можна знайти зв'язок кута повороту φ дротини та деформацiї пружини x:

 

φ = x/R

 

Таким чином, рiвняння для моменту сил пружностi M = Kφ набуває вигляду:

 

FR = Kx/R

 

Тобто

 

К = FR²/x

 

Значення сили F можна побачити на шкалi динамометра, R та х - вимiряти лiнiйкою. Визначений таким способом модуль кручення буде стосуватися дротинки, з якої зроблена пружина динамометра. Для того, щоб знайти модуль кручення метрової дротини К₀, запишемо, що кут повороту φ₀ метрового вiдрiзка пов'язаний з загальним кутом повороту φ спiввiдношенням

 

            φ = φ₀(L/1м),

 

де L - довжина дротини, L=2πRN, N - кiлькiсть виткiв пружини. Тодi

 

            K₀ = KL

 

Остаточно

 

            К₀ =

 

Видно, що точнiсть вимiрювання визначається, в основному, точнiстю вимiрювання радiуса пружини R.

 

 

2.

 

Для визначення модуля зсуву необхiдно розглянути деформацiю кручення як сукупнiсть зсувiв. Нехай цилiндр радiуса R висоти L (дротинка, з якої зроблена пружина динамометра) скручується на кут φ. Видiлимо тонке кiльце радiуса r, товщини dr. Матерiал цього кiльця зазнає деформацiї зсуву на кут γ = φr/L. Сила пружностi

 

            dF = γGdS = γG2πrdr

 

Момент сили пружностi

 

            dM = rdF =

 

Враховуючи, що L = 2πRN, та iнтегруючи вiд 0 до радiуса дротинки r₀, знаходимо:

 

            M =

 

Як i в першiй частинi задачi

 

            M = FR;   φ = x/R

 

Тому

 

            F = ;

 

            G = .

 

Всi величини в правiй частинi пiдлягають безпосередньому вимiрюванню. Радiус дротинки r₀ можна визначити, стиснувши пружину динамометра та вимiривши її довжину.

Знаючи кiлькiсть виткiв, неважко розрахувати потрiбне значення.

 

В цьому розв'язку використовувалися наближення малих деформацiй та уявлення про дротинку пружини як про цилiндр, хоча вона скручена у спiраль. Похибки, якi пов'язанi з цими наближеннями, значно меншi, нiж похибки вимiрювання радiуса дротинки r₀ та радiуса пружини R. Похибки вимiрювання цих величин, враховуючи високi степенi у розрахунковiй формулi, приводять до похибки визначення G у 30 - 40%.