Турнiр Чемпiонiв - 2008

 

         1. Послiдовнiсть цiлих чисел , , , : така, що для будь-якого натурального

Знайдiть .

         Розв'язання. Дослiджуючи остачi вiд дiлення  на , одержуємо, що  дiлиться на  тодi i тiльки тодi, коли  чи .

Тому

,

бо

.

         Вiдповiдь. .

         2. Дано прямокутний трикутник , в якому . На його гiпотенузi  довiльним чином вiдмiтили точку . Точка  симетрична точцi  вiдносно . Нехай прямi  i  перетинають пряму  в точках  i  вiдповiдно. Позначимо через  основу перпендикуляра, опущеного iз точки  на пряму  , а через  - точку перетину прямих  i . Доведiть, що  - центр кола, вписаного в трикутник .

         Розв'язання. Нехай точка  належить вiдрiзку  (у випадку, коли точка  належить вiдрiзку , доведення аналогiчне). Достатньо довести, що  - точка перетину бiсектрис трикутника .

Оскiльки точка  симетрична точцi  вiдносно прямої , то  - серединний перпендикуляр вiдрiзка . Отже, точки , , ,  та , , ,  - циклiчнi.

Тому

та

,

тобто  - бiсектриса кута .

         Далi

,

тобто точки , , ,  також циклiчнi. Звiдки слiдує, що . Тому, , а це означає, що точки , , ,  - циклiчнi. Звiдки слiдує, що

,

тобто  - бiсектриса кута .

         Таким чином, ми довели, що  - точка перетину бiсектрис трикутника , що i треба було довести.

         3. Нехай , ,  - додатнi дiйснi числа. Доведiть нерiвнiсть

.

         Розв'язання. Розглянемо наступну рiзницю:

.

Її можна подати у такому виглядi:

.

Для цього потрiбно розкрити дужки, звести подiбнi доданки i згрупувати їх вiдповiдним чином. Далi залишилося довести, що обидвi дужки невiд'ємнi.

         Дiйсно, за нерiвнiстю Кошi для трьох додатних чисел та двох додатних чисел маємо:

1)

,

тобто

,

причому рiвнiсть досягається тодi i тiльки тодi, коли .

2)

,

,

.

Додавши цi три нерiвностi, одержимо:

,

тобто

,

причому рiвнiсть досягається тодi i тiльки тодi, коли .

         4. Дано чотирикутну пiрамiду , основою якої є опуклий чотирикутник . Вiдомо, що в пiрамiду можна вписати кулю. Нехай  - точка дотику цiєї кулi з основою . Доведiть, що .

         Розв'язання. Нехай  i  - точки дотику вписаної кулi з гранями  i  (див. мал.). Тодi за теоремою про дотичнi до сфери, якi проведенi iз однiєї точки, маємо: , . Звiдси випливає, що трикутники  i  рiвнi (за трьома сторонами).

         Нехай  перетинає  в точцi , а  перетинає  в точцi . Тодi з рiвностi трикутникiв  i  випливає, що  (як вiдповiднi зовнiшнi кути рiвних трикутникiв).

         Далi, аналогiчно,  i , а тому  i . З того, що , випливає, що .

         Нехай прямi, що проходять через вершину  i точки дотику кулi з гранями  i , перетинають  в точцi , а  в точцi . Тодi, за доведеним вище, ,  i . Оскiльки сума усiх кутiв з вершиною  дорiвнює , то

,

тобто

.

         Таким чином,

.

         5. Знайти усi натуральнi числа  такi, що:

         1)  має всього  рiзних дiльникiв;

         2)  - правильна рiвнiсть.

         Розв'язання. Нехай  - канонiчний розклад числа . Тодi кiлькiсть усiх його дiльникiв буде рiвною . За умовою задачi . Тому,  i  або  i ,  (ми припустили, що ). У першому випадку , де  - просте число. Для цього числа не виконується друга умова:

,

що неможливо, бо лiва частина не дiлиться на , а права - дiлиться.

         У другому випадку , де  i  - рiзнi простi числа. Знайти їх можна завдяки другiй умовi:

.

Звiдки знаходимо, що

.

Оскiльки  - цiле , то  - цiле. Якщо , то , що не забезпечує цiлiсностi числа  Отже, . Оскiльки  - просте, то

.

Безпосередньою перевiркою знаходимо, що , а . Отже, шукане число .

         Вiдповiдь. .