1. 
, поэтому 
Аналогично 
, а также
Сложив почленно последние три неравенства получим
Усилим данное неравенство,
применив первые три неравенства:
Сократив на 2, получим требуемое
неравенство.
2. Каждая команда может сыграть не
более 29 матчей. Поэтому, если каждая команда сыграла
по крайней мере один матч, то различных
чисел,
выражающих количество матчей, сыгранных отдельными командами, может быть всего
29 (от 1 до 29).
, по крайней мере у двух команд число сыгранных
партий должно быть одно и то же в любой момент игры. Если хотя бы одна команда
ещё не играла, то эти числа могут быть от 0 до 28, т. е. тоже 29 различных
возможностей, и вывод остается тот же.
3.
Перепишем уравнение в
виде 
. Возведём его почленно в квадрат:
Число 250+x - целое при целом x . Следовательно, необходимо, чтобы 
был целым.
Для этого необходимо, чтобы 250x=p2 или x=10k2
, где k - целое. Кроме того,
поскольку 
должен быть неотрицательным,
надо, чтобы выполнялось неравенство 
или 
Подставляя возможные значения k
в выражение для x=10k2
и y=10(|k|-5)2 , получим все решения.
4. Допустим, такие числа существуют. Тогда 
где
- четные числа, т.е. 
, 
Таким
образом,
Перемножив
эти равенства получим:
где
А некоторое натуральное число. Мы получили противоречие,
так как
квадрат нечетного числа при делении на 4
дает в остатке 1.
5. Обозначим точку пересечения 
и 
через К. Так как 
, то
треугольники
и 
подобны, поэтому
Так как 
то
прямоугольные треугольники
и 
подобны, и 
Значит, 
то есть
и 
- биссектриса внутреннего угла В ( так
как
перпендикулярна
биссектрисе внешнего угла).
Замечание. В трапеции точка пересечения
диагоналей делит пополам отрезок с
концами на боковых сторонах, проходящий через эту точку и параллельный
основаниям, поэтому К
- середина отрезка 
