1. Послiдовнiсть цiлих чисел , , , : така, що для будь-якого натурального

Знайдiть .

2. Дано прямокутний трикутник , в якому . На його гiпотенузi довiльним чином вiдмiтили точку . Точка симетрична точцi вiдносно . Нехай прямi i перетинають пряму в точках i вiдповiдно. Позначимо через основу перпендикуляра, опущеного iз точки на пряму , а через - точку перетину прямих i . Доведiть, що - центр кола, вписаного в трикутник .

3. Нехай , , - додатнi дiйснi числа. Доведiть нерiвнiсть

.

4. Дано чотирикутну пiрамiду , основою якої є опуклий чотирикутник . Вiдомо, що в пiрамiду можна вписати кулю. Нехай - точка дотику цiєї кулi з основою . Доведiть, що .

5. Знайти усi натуральнi числа такi, що:

1) має всього рiзних дiльникiв:

2) - правильна рiвнiсть.

Час виконання - 3 год., кожна задача оцiнюється в 5 балiв, використання калькуляторiв та довiдникiв заборонено.

1.   Последовательность целых чисел , , , : такая, что для любого натурального n

Найти .

2.   Дан прямоугольный треугольник , в котором . На его гипотенузе произвольным образом отметили точку Р. Точка Q симметрична точке Р относительно АВ. Пусть прямые и пересекают прямую в точках и соответственно. Обозначим через основание перпендикуляра, опущеного с точки на прямую , а через - точку пересечения прямых и . Докажите, что - центр окружности, вписаной в треугольник .

3.   Пусть , , - положительные действительные числа.

Докажите неравенство .

4.   Дано четырехугольную пирамиду , основанием которой есть выпуклый четырехугольник . Известно, что в пирамиду можно вписать шар. Пусть -точка касания этого шара с основанием .

Докажите, что .

5.   Найти все натуральные числа такие, что:

1) имеет всего 6 различных делителей:

2) - верное равенство.

Время выполнения - 3 часа, каждая задача оценивается в 5 баллов, использование калькуляторов и справочников запрещено.