Старшая лига

1. Медведь на мотоцикле

В известном цирковом номере медведи ездят на мощных мотоциклах по кругу.  Медведь-мотоциклист начинает разгоняться, стараясь набрать скорость за минимальное время. Какую часть круга он пройдет к моменту достижения макси-мальной скорости?

Решение. Ускорение мотоциклиста определяется силой трения. Что бы набирать скорость максимально быстро, он должен в каждый момент времени иметь максимально возможное тангенциальное ускорение. Для этого полное ускорение также должно быть максимально большим, т.е. равным , где μ - коэффициент трения. Обозначив через а угол между вектором ускорения и вектором скорости, выразим тангенциальное и нормальное ускорения:

Продифференцируем второе уравнение по времени:

Учитывая, что υ΄ = acosα, а υ/R = ω = φ΄, где φ - угол поворота радиуса-вектора мотоциклиста, получим φ΄ = α΄/ 2. Значит в каждый момент времени φ = α / 2. В момент достижения максимальной скорости α = π / 2. Следовательно, в этот момент φ = π / 4 , т.е. мотоциклист прошел восьмую часть окружности.

2. <Галактика>

Имеется звездное скопление с концентрацией звезд типа Солнца (массой 2*10³⁰кг и радиусом 7*10⁸м) 10 единиц на 1 кубический световой год. Определить среднее время между столкновениями двух таких звезд, если их средняя относительная скорость 60 км/с. Скорость распространения  света 3*10⁸ м/с.

Решение.

 

 

Очевидно, что столкновение произойдет при расстоянии между центрами L=2R.

Для решения задачи удобно перейти в систему отсчета, связанную с центром масс двух звезд и применить:

Закон сохранения энергии ,

закон сохранения момента импульса ,

 

Где V- скорость звезд относительно центра масс в момент наибольшего сближения;

        b- прицельный параметр в этой системе отсчета

 

Решив эту систему, получим:

 

Тогда сечение удара

И среднее время между ударами , где .

Таким образом .

3. Капилляр

Конический капилляр с малым углом при вершине 2α вертикально погружен в жидкость, которая его полностью смачивает. Вершина конуса находится на высоте Н над уровнем жидкости, на вершине есть небольшое отверстие. На какой уровень поднялась жидкость в капилляре, если капилляр опускали в жидкость сверху? Если поднимали его из глубины? Коэффициент поверхностного натяжения σ, плотность жидкости  .

Решение. g h =    давление столба жидкости в цилиндрическом капилляре при малом угле .

 

r = ( H - h)    радиус капилляра  через тангенс  малого угла.

 

 

g h ( H - h)   =  2

 

 

gh²  -g hH + 2 =  0

 

 

h  =

 

 

 > 8  условие решаемости задачи при положительном дискриминанте.

 

H =    высота капилляра через радиус капилляра.

 

> 8  строгое неравенство (для положительного дискриминанта).

Сравнивая весовое и лапласово давления, можно показать, что устойчивому равновесию соответствует только меньший корень квадратного уравнения. Следовательно, когда капилляр опускают сверху, именно это значение и является ответом. Если же капилляр изначально заполнен, то лапласово давление намного больше весового и такое состояние уже является устойчивым.

Итак, ответы (при положительном дискриминанте, т.е. достаточно большой высоте капилляра):

• при опускании капилляра
• при поднимании капилляра

При отрицательном дискриминанте

4.Шустрая перемычка

Резистор сопротивления R замыкает два параллельных проводящих рельса  На рельсах параллельно резистору лежит подвижная проводящая перемычка массы М, длиной  l. Расстояние от перемычки до резистора равно L. На какое расстояние сместится перемычка, если быстро включить магнитное поле индукции В, перпендикулярное контуру? Сопротивлением рельс, перемычки и трением между ними можно пренебречь.

Решение. При включении поля в перемычке возникает индукционный ток, мгновенное значение которого согласно з-на Ома равно (считаем включение поля настолько быстрым, что сдвигом перемычки за время включения можно пренебречь):

Возникшая сила Ампера   сообщает скорость, которую можно найти исходя из второго закона Ньютона в импульсной форме:

 

После интегрирования в диапазонах от 0 до V₀ для скорости и от 0 до В для индукции поля, получим

.

 

К этому моменту ток в перемычке достигает нуля, после чего перемычка продолжает двигаться в направлении на резистор, но сила тока, а значит и сила Ампера меняют свое направление, притормаживая перемычку.

 

Для произвольного момента этого участка:

.

Дальше можно решать диф.ур-е, но можно и обойти его различными путями, н-р:

 

И из последних двух уравнений, имеем:

Очевидно, что последнее равенство справедливо для любого интервала времени на протяжении движения, а значит:  .

Из чего получаем:  .

 

Таким образом, при любых параметрах m, R, l, B, перемычка приблизится к резистору на половину исходного расстояния.