1. В теплоизолированный сосуд с теплой водой опустили кусочек льда массой 1 г при температуре 0°С. После установления теплового равновесия температура в сосуде уменьшилась на D t. Потом в термос опустили еще такой же кусочек льда. Температура в сосуде снизилась еще на 0,98 D t. Сколько води было в термосе?

Решение. Уравнение теплового баланса для опускания первого куска:

m_л∙λ + m_л∙c∙(t_в - Δt) = m_в∙c∙Δt

где m_л  - масса льда,  m_в  - масса воды, ∙λ - удельная теплота плавления, c∙- удельная теплоемкость, t_в - первоначальная температура воды.

Уравнение теплового баланса для опускания второго куска:

m_л∙λ + m_л∙c∙(t_в - Δt - 0,98∙Δt) = (m_в + m_л)∙c∙0,98∙Δt

Слагаемые: m_л∙λ + m_л∙c∙(t_в - Δt) в правой части уравнений одинаковые.

Подставив вместо них в левую часть второго уравнения m_в∙c∙Δt, получим:

m_в∙c∙Δt - m_л∙c∙0,98∙Δt = (m_в + m_л)∙c∙0,98∙Δt

где сразу можно избавиться от c∙Δt, после преобразований, получим:

0,02∙m_в = 2∙0,98∙m_л ,

Откуда m_в = 98 г.

Примечание. Возможен вариант, при котором второй кусочек льда тает не до конца (при этом конечная температура в сосуде ноль по Цельсию). В этом случае однозначного ответа нет.

2. Лиса гонится за зайцем, при этом держит курс все время на зайца. Начальное расстояние между лисой и зайцем l. Скорости лисы и зайца по модулю равны v. Особенности <косого> зайца таковы, что он убегает все время по направлению, составляющему угол 60° с отрезком <лиса-заяц>.

·        За какое время лиса догонит зайца?

·        На каких расстояниях от начальных положений лисы и зайца произойдет это печальное для зайца событие?

Решение. Для ответа на первый вопрос этого достаточно разложить скорость зайца на две составляющие: вдоль прямой <лиса-заяц> и перпендикулярно этой прямой. Только первая составляющая (ее модуль ) приводит к изменению расстояния между участниками гонки. Следовательно, расстояние от лисы до зайца уменьшается со скоростью  Лиса догонит зайца за время  Для ответа на второй вопрос построим правильный шестиугольник со стороной  в соседних вершинах которого вначале находились лиса и заяц. Мысленно заменим зайца на лису-2, а в других вершинах посадим лису-3, :, лису-6. Предположим, у лисы-1 претензии к лисе-2 и т.д., а у лисы-6 аналогичные претензии к лисе-1. Каждая из них держит курс на соответствующую вершину шестиугольника, тогда угол между скоростями как раз 60 градусов. Из симметрии очевидно, что все лисы встретятся в центре. Таким образом, искомая точка находится на расстоянии  от начальных положений лисы и зайца.

3. С северного полюса Земли запускают ракету на экватор. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти минимальную начальную скорость ракеты.

Решение. Известно (и легко доказуемо) что полная энергия спутника, движущегося по эллиптической орбите с большой полуосью а может быть найдена, как :

Из чего видно, что она будет минимальной (а это и будет условием минимальности скорости запуска), когда размер большой полуоси будет минимальным.

Из соображений симметрии понятно, что прямая, на которой лежит большая ось будет биссектрисой угла AF₁B (см.рис.)

Для эллипса AF₁+AF₂=2a,

и, исходя из первого закона Кеплера, в фокусе F₁  находится центр Земли, т.е. АF₁=R (где R-радиус Земли).

Тогда полуось будет  минимальной из всех возможных тогда, когда второй фокус F₂ будет лежать на отрезке АВ, перпендикулярном полуоси.  

А значит угол F₁АF₂=45⁰ и АF₂=.

Из чего следует, что .

 

Применим Закон сохранения энергии для спутника:

и с учетом известного размера большой полуоси найдем минимальную скорость запуска:  (где g₀=9,81м/c²)

4. Показанная на рисунке фигура изготовлена из проволоки, сопротивление единицы длины которой r. Длина стороны большого треугольника l. Количество вписанных треугольников очень велико. Найдите сопротивление фигуры.

Решение. Пусть сопротивление между точками включения равно R_x ( сопротивление со всеми вложениями). Сопротивление всей схемы ( с включениями ) без внешнего треугольника равно  . Тогда схему можно перерисовать так:

 

 

 

 

Подключение   именно к точкам С и Д обусловлено соображениями  симметрии.

Из рисунка видно:

 

 

 

R_x=

 

 

После преобразований имеем

 

3R_x² +2RR_x- 2R²=0

 

D=28R²

 

 

R_x=ρŀ

5. На столе стоит прямой круговой конус (непрозрачный). На некотором расстоянии от него на уровне вершины конуса расположили точечный источник света. Какую форму имеет тень конуса на столе? Нарисуйте эту тень, обоснуйте свой ответ.

Решение. Через светящуюся точку  проведем плоскости, касающиеся боковой поверхности конуса. Таких плоскостей две и проходят они через вершину конуса  Прямая  параллельна плоскости основания конуса. Следовательно, линия пересечения каждой из касательных плоскостей с плоскостью основания параллельна прямой . Отсюда следует: эти линии (а они являются границами тени) параллельны друг другу. Тень от конуса представляет собой полосу, ширина которой равна диаметру основания конуса.